О точности построений

Поскольку сажени являются инструментом не измерения, а соразмерности, им совсем не обязательно иметь некую определённую длину. Их размеры должны соблюдаться лишь в пределах одного сооружения. Ничего не мешает в одном здании принять малую сажень за метр, а в другом за полтора. Соответственно ей изменятся и все остальные сажени!

С другой стороны, мы видим, что рост людей мерился исходя из малой сажени плюс некое количество вершков. Другими словами, эталоном являлся человек. Люди все разные, но единожды узнав свой рост, человек всегда скажет, что «мне малая сажень по ярло» или «по горло». Другой его поправит, сказав, дескать «чуть ниже». Так сажень могла сохранятся в народе с достаточно высокой точностью.

Думаю, не так уж много людей знало, как строится весь ряд. Но вот «малая», похоже, бытовала как основная. К примеру, «вершок» совершенно ясно определяется как 4,45 см, хотя вершком называется 1/32 часть любой сажени. Т.е. вершков то много и они все разные! Но «по умолчанию» принято использовать вершок малой сажени.

Пилецкий берёт усреднённые значения множества замеров и полагает приемлемым отклонение ±2см – примерно 5%. По моему мнению, вернее было бы делать таблицу размеров для каждого здания в отдельности.

Далее идут строители.

Вот план Георгиевского собора Юрьева монастыря в Каневе, 1144 г.:

План Георгиевского собора Юрьева монастыря в Каневе.[Желоховцева Е.Ф.]
План Георгиевского собора Юрьева монастыря в Каневе.[Желоховцева Е.Ф.]
Как видим, за последнюю тысячу лет строители ни чуть не изменились.

Маловероятно, что мы получим точные размеры сажень прямым измерением. Однако, зная законы построения, мы по некоторым признакам можем восстановить исходный чертёж и постичь красоту задумки мастера.

Новгородское мерило

В 1970 г. при раскопках в Новгороде, недалеко от церкви Параскевы Пятницы (год постройки 1207, семьсот девяносто лет назад) в слоях начала XIII в. были найдены обломки деревянного мерила с тремя шкалами крупных и мелких делений, построенных в десятичной системе. Мерило представляло собой два обломка четырехгранного елового бруска размером 28 x 36 мм общей длиной 54 см

Три грани бруска размечены длинными и короткими зарубками, относящимися к разным мерам. Сохранившиеся размеры таковы:

Размеры делений Новгородского мерила
Размеры делений Новгородского мерила

Содержание на одном мериле трех разных шкал, по мнению Б.А. Рыбакова, свидетельствует о том, что оно является расчетным архитектурным инструментом, и каждая шкала, по-видимому, пропорциональна какому-то измерительному инструменту

Облом новгородского мерила
Облом новгородского мерила

Как уже упоминалось, Б. А. Рыбаков определяет 7 видов саженей, имевших хождение на Руси, и считает достаточным для всех архитектурных операций зодческий минимум в три сажени. Этого числа саженей, по его мнению, хватает для проведения всех измерений, поскольку главное назначение нескольких саженей заключается в облегчении зодчему выполнения многочисленных работ, связанных с различными видами расчетов элементов конструкций, и их совмещения в одном объекте.

Реконструкция мерила (176,4 см)
Реконструкция мерила (176,4 см)

Исходя из этих соображений он восстанавливает новгородское мерило в виде стержня, содержащего элементы набора частей длин трех саженей: мерной (маховой), великой (косой) и прямой (простой), но в необычном для древнерусских пропорций делении - каждая сажень делится на 21 элемент. Согласно Б. А. Рыбакову, это необычное деление дает древнему зодчему возможность оперировать элементами каждой сажени для воспроизводства архитектурных деталей и сооружений кругового очертания. Поскольку при любом диаметре круга, когда диаметр делится на 21 часть, в самом круге с большой точностью будут укладываться 66 таких же отрезков. Это деление известно с древности как отношение Архимеда в виде пропорции 22:7 = 3,1428, что и обусловливает возможность построения любой окружности с точностью до 0,05% и проведения операции перевода окружности и отрезка любой окружности (дуги) в линейные меры.[Черняев А.Ф.]

Первое предположение, что мне пришло в голову — это вершки разных саженей.
8,35*32 = 267,2
7,31*32 = 233,92
5,93*32 = 189,76

Сопоставление строя по вавилонам и размеров новгородского мерила
Сопоставление вершков саженного строя по вавилонам и делений новгородского мерила

Две сажени без погрешностей, одна сажень с погрешностью 1,5%. Ни о какой случайности речь даже не идёт.

Рождественская церковь в Горьком

Рождественская церковь в Горьком
Рождественская церковь в Горьком

Наиболее известной среди Строгановских построек является Рождественская церковь в Горьком.

Она эффектно расположена и изящно вписана в панораму города, согласуясь с видом на волжские просторы. На фасаде у нее три яруса белокаменного ордерного дeкopa. Высота I яруса − 441 см; II яруса − 498 см; III яруса − 468 см. В сантиметрах эти размеры ничего нам не говорят; в древнерусских же мерах ярусы соответственно составляют:

I − 2½ сажени народных по 176 см; II − 2½ сажени царских по 197,4 см; III − 2½ сажени церковных по 186,4 см.

Везде по 2½ сажени, но разных видов. Их последовательность идет по направлению снизу вверх − народные − царские − церковные. Это весьма характерно, и, по-видимому, здесь ключ к архитектурным пропорциям. Расположения в обратном порядке нам не встречалось.

Мне активно не нравятся эти 2½ сажени - вот почему:

Наблюдения над русской метрологией показали, что очень мелких и дробных делений в древней Руси не применяли, а использовали многообразие мер, применяя, скажем, «локти» и «пяди» разных систем.

Одним из существенных отличий русской народной метрологии от древнегреческой, римской или византийской и западноевропейской метрологии является принцип постепенного деления на 2, когда меньшие меры получаются путем деления большей на 2, на 4 и на 8 ... „Полусажень", „локоть", представляющий четвертую часть сажени, «четверть» или «четь», под которыми мы должны понимать четвертую часть полусажени («пядь»), − вот доли основной меры − сажени.[Рыбаков, СЭ, №1]

Вот как происходит дробления саженей:

Доли саженей
Доли саженей

Историки математики Б.В. Гнеденко и А.А. Юшкевич пришли к интересному выводу, что структура ряда задач близка к геометрической прогрессии со знаменателем 21. Позднее Б.А. Рыбаковым математические задачи из «Русской Правды» были истолкованы как вероятное учебное пособие для приобретения навыков в хозяйственных подсчётах. Дальнейшее изучение источника подтвердило это заключение. Задачи, по-видимому, использовались для обучения подсчётам на приспособлении типа абака.
<...>
С помощью задач можно было приобрести навык в откладывании («записи») чисел на абаке, в выполнении архаических действий «раздвоения» и «удвоения», в получении утроенного результата («утроении»).
[Кузнецова В.С.]

И на это есть причина: удвоенная или разделённая пополам сажень — это та же нота, просто другой октавы. Геометрически это хорошо видно на основном вавилоне.

В свою очередь, 2½ малых сажени (или 5 полусаженей) равны двум народным: 5/2 = 2*5/4;

Это невероятная гибкость — та самая «комбинаторика», когда одни сажени можно выразить через другие, может сыграть злую шутку с исследователем.

А вот 2½ Народные больше двух Казённых, но меньше двух Греческих:

(2*3/2) < (2½ * 5/4) < (2 * 8/5);

Так выглядит сопоставление двух рядов:

Таблица 12: Сопоставление двух рядов саженного строя
Таблица 12: Сопоставление двух рядов саженного строя

Для наглядности я сместил второй ряд на четыре шага. Цветом выделены ячейки с двойственной царской саженью.

Не все ступени совпадают, поскольку в чистом строе, в отличие от равномерно темперированного, интервалы между ступенями различаются.

Проще говоря, так делать нельзя — вся «комбинаторика» развалится.

2½ Церковные точно соответствуют двум Великим: 2,5*4/3=2*5/3;
189,87*5/2 = 237,33*2=474,7 см;

2½ Царские (F♯) сажени равны двум Косым: 2*253,15 = 506,31см.

2½ Народные больше двух Казённых, но меньше двух Греческих:
2*227,84 = 455,68 см.

Все полученные размеры немного больше результатов замеров.

Однако зодчему ничто не мешало менять размер исходной сажени для изменения размера всего строения в целом. К примеру, если принять малую сажень за 140,5 см, получим следующий ряд:

Таблица 13: Ряд саженей, построенный при См=140,5 см
Ряд саженей, построенный при См=140,5 см

Тогда точность расчётных значений будет весьма близка к измеренным:

Восстановленные сажени Рождественской церкви
Восстановленные сажени Рождественской церкви

Твёрдой уверенности в данном случае у меня нет - слишком мало вводных данных...

Однако в цитате Кузнецовой моё внимание привлекло упоминание о «получении утроенного результата («утроении»)».
Пожалуй, тут в пору вспомнить об ещё одной русской мере, именуемой «аршин».

Аршин

Википедия даёт нам следующее определение:

Аршин: старорусская единица измерения длины.

1 аршин = 1/3 сажени = 4 четверти = 16 вершков = 28 дюймов = 0,7112 м;

Тут я впервые столкнулся с делением сажени на 3 части. Ни Рыбаков ни Пилецкий аршин не рассматривали.

Кроме того, удивительно видеть, что треть сажени вдруг стала равна 16 вершкам, а все предыдущие источники утверждали, что сажень делится на 8 пядей или 32 вершка!

Собственно, о какой сажени говорит Википедия?

Са́жень, или саже́нь (сяжень, саженка, прямая сажень) — старорусская единица измерения расстояния. В XVII в. основной мерой была казённая сажень (утверждённая в 1649 году «Соборным уложением»), равная 2,16 м, и содержащая три аршина (72 см) по 16 вершков. Ещё во времена Петра І русские меры длины были уравнены с английскими. Один аршин принял значение 28 английских дюймов, а сажень — 7 английских футов, то есть 213,36 см. Позже, 11 октября 1835 года, согласно указанию Николая I «О системе российских мер и весов», длина сажени была подтверждена: 1 казённая сажень приравнена к длине 7 английских футов, то есть к тем же 2,1336 метра. С введением в 1924 г. в СССР метрической системы мер вышла из употребления.

1 сажень = 7 английских футов = 84 дюйма = 2,1336 метра

1 сажень = 1/500 версты = 3 аршина = 12 пядей = 48 вершков

[Википедия, статья «Сажень»]

Сопоставлю выдержки из нескольких статей.

При использовании вершков для измерения роста людей результаты выражались особым образом. В этих случаях в вершках указывался не собственно рост, а только то, насколько он превосходил два аршина. Поэтому для получения истинного роста к значению, выраженному в вершках, следует прибавлять два аршина. Например, дворник Герасим из повести «Муму» описывается И. С. Тургеневым так: «Из числа всей её челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырём…». Это означает, что рост Герасима равен 12 вершков + 2 аршина, что составляет приблизительно 196 см. [Википедия, статья «Вершок»]

Но ранее я приводил цитату, где рост человека точно так же мерился от малой сажени! Я повторю её:

Некоторые выражения, связанные с понятием роста человека, в литературе даже XIX в. уже не воспринимаются нами так, как они воспринимались и понимались современниками. Без дополнительных пояснений смысл уже до нас не доходит. Например: «В нем, как в Петре Великом, 15 вершков роста» (Лесков. Несмертный Голован). В буквальном смысле можно понять, что рост Петра был 15 х 4,445 = 66,7 − карликовым. В обиходе для упрощения не называлась еще малая сажень 142 см (равная 32 вершкам), от которой велся отсчет. Подобно тому как, например, в нашем выражении «весной сорок третьего» означает весной 1943 г., а не весной 43 г. н. э. Поэтому рост был 142,3 + 66,7 = 209 см − баскетболистский, сверхвысокий. [Пилецкий А. А.]

Следовательно, Малая сажень равна двум аршинам, о чём Пилецкий, тоже упоминал:

Сажень 142,4 см. Эта сажень не менее популярна в строительной практике; по своей конструкции она представляет собой двухаршинную меру. [Пилецкий А. А.]

Городовая сажень (удвоенная малая) обозначена как четырёхаршинная:

Четырёхаршинная сажень = 4 аршина = 284,48 см
[Википедия, статья «Сажень»]

Совершенно закономерно, что Казённая сажень при этом будет равна трём аршинам. Ведь она ровно в полтора раза больше Малой сажени!

Казённая (мерная, трёхаршинная) сажень. В XVI веке сажень была приравнена к 3 аршинам и стала называться казённой, или трёхаршинной (213,36 см) [Википедия, статья «Сажень»]

Пётр просто использовали наиболее подходящую случаю сажень, что бы связать русские и английские меры.
Уверен, что эта сажень была трёхаршинной задолго до XVI века — с самого появления саженного строя.

Ну и наконец:

Маховая сажень, она же народная — расстояние между вытянутыми пальцами раскинутых (размахнутых) рук. В таких маховых саженях, которые легко отсчитывать, выражена, например, высота колокольни Иван Великий в Кремле. Эта наиболее древняя мера начиная с XVI в. перешла в разряд неофициальных, бытовых = 2,5 аршина ≈ 152—177,8 см
[Википедия, статья «Сажень»]

Таким образом, получается, что аршин — совершенно особенная мера.

Говоря «локоть», «пясть» или «пядь» всегда необходимо уточнить, о какой сажени идёт речь. Просто потому, что у каждой сажени они свои.

А вот аршин неизменно равен половине Малой сажени — своеобразная проверка точности построения. И в этом смысле он действительно общий, единый для всего ряда!

Рисунок 30: Саженный ряд с общим аршином
Саженный ряд с общим аршином

Введенский собор в Сольвычегодске

а) Смоленская церковь в Горьком и б) Введенский собор в Сольвычегодске
а) Смоленская церковь в Горьком и б) Введенский собор в Сольвычегодске

Высота первого этажа Смоленской церкви в точности соответствует высоте второго этажа Введенского собора, поэтому я решил, что используется один и тот же ряд саженей.

Ряд саженей при См=91,5 см
Ряд саженей при См=91,5 см

Высота каждого этажа получается по 4 сажени, но разных:

Восстановленные сажени Смоленской церкви и Введенского собора
Восстановленные сажени Смоленской церкви и Введенского собора

Погрешность в 0,5% на одном из замеров. Приемлемо.

Церковь Параскевы Пятницы на Торгу

Первая деревянная церковь на месте нынешней была построена в 1156 году заморскими купцами. «Заморскими» назывались новгородские купцы, торговавшие «за морем», то есть за границей.

В 1191 году некий Константин с братом поставили на этом месте новую деревянную церковь того же имени. Позднее летопись сообщает, что в 1207 году было окончено строительство уже каменной церкви. Её опять же воздвигли заморские купцы.

Церковь неоднократно перестраивалась. Так, в 1345 году, согласно летописи, «порушилась в великий пожар», после чего подверглась серьёзной перестройке. В XVI веке она также, уже по инициативе московских купцов, подверглась крупной переделке. (…)

К основному объёму Пятницкой церкви с трех сторон примыкали пониженные притворы (нартексы). Из приделов сохранился только северный, от двух других дошли лишь небольшие фрагменты, и они пристроены реставраторами заново. (...)

В документах также сохранилось 15 свидетельств о пожарах, случившихся в храме, в том числе сообщения о его поновлениях в разные времена.

Возможно, не самый удачный пример для моего исследования, но тут я вынужден следовать за А. Пилецким, от работы которого я отталкиваюсь.

Для начала обозначу уже известное мажорное трезвучие С-E-G:

Благодаря Е.Ф. Желоховцевой мы знаем, что зодчие думали квадратами (а вероятнее даже кубами!) и я поступлю так же: вместо прямых отрезков буду рисовать квадраты.

Рисунок 32: Основные квадраты: 12E=6С+6G
Основные квадраты: 12E=6С+6G

Первое, что бросается в глаза — не совпала поперечная ось!

По ширине всё легло неплохо:

  • Квадрат 6G пришёлся точно на ширину здания без притворов. Особенно хорошо это видно на внутренних выступах;
  • Квадрат 6C лёг на арочные проёмы, обозначенные пунктиром.

Нарисую ядро относительно полученной оси:

Рисунок 33: Ядро церкви: квадраты 4C♯, 4G♯(6C♯), 8C♯, 12C♯
Ядро церкви: квадраты 4C♯, 4G♯(6C♯), 8C♯, 12C♯

В восточной части три квадрата легли строго по границам колон.

Квадрат, определённый Пилецким как 4 греческие сажени (4G♯ они же 6C♯) обозначил внутренние границы стен и алтарных столпов.

Сторона следующего квадрата согласно правилу Желоховцевой ровно в два раза больше стороны внутреннего (2*4C♯) и обозначает внешние границы боковых стен.

Квадрат 12C♯ согласно Пилецкому показал внутреннюю ширину. Я разместил его на поперечной оси, как и предыдущие три и он хорошо лёг на выступ входа западного притвора. В восточной части очевидных совпадений нет.

Самое главное — четыре колонны в центре. Дело в том, что они являются опорами подкупольного квадрата и не могут быть смещены. Невозможно!

Второе важное наблюдение Желоховцевой — все храмы строятся от центра. А вернее сказать — от того камня, который одновременно является и краем круга и углом квадрата, что буквально повторяет миф о сотворении мира!

Если говорить о творении мира, то надо принять как исходное, что существует его настоящее состояние и должно было быть предшествующее, из которого он и творился. Если считать, что предшествующего состояния не было, тогда не было и творения. Предшествующим может быть или другой мир или ничто. Но творение нашего мира из предшествующего вряд ли стоит рассматривать, если говорить о творении как о таковом, потому что если в начале всех предшествующих миров не было их отсутствия, то это не столько творение, сколько перестройка, переделка. Значит, как исходное мы должны принять, что есть настоящее и было предшествующее ему ничто.

Что такое это изначальное ничто, сказать невозможно. Может быть, это пустота, может быть, некая однородная среда без признаков и различий. Тем не менее, мы можем вообразить ее в виде объема, пространственно. Этого, правда, нельзя сделать, не ощущая себя внешним по отношению к этому пространству, но в данном случае это неважно, потому что в качестве примера Дядька использовал еще более отдаленный образ.

— Вот представь себе: водная гладь без единой волны,— сказал он,— совсем-совсем неподвижная. И на нее падает камень. Что произойдет?

— Пойдут волны,— ответил я.

— Только это не поверхность, а объем. Короче этот камушек умудрился упасть прямо в середку. Какие будут волны?

— Круглые, — сначала ляпнул я, но быстренько поправился.— Я хотел сказать, сферами.— Нет, наверное, — задумчиво покачал он головой, глядя куда-то в пространство своего видения.— Сфера тут, пожалуй, окажется такой же плоской, как и круг на воде... Там, наверное, все гораздо... во много раз сложней. Но нам неважно. Понятно?

— Понятно. Многомерность, — довольно уверенно отозвался я. Он с подозрением и скрытой улыбкой уставился на меня, вынудив этим задуматься, откуда у меня выскочил такой уверенный и быстрый ответ. Я почти сразу нашел, что этот якобы понятный мне образ многомерности есть детище научной фантастики, а значит, уже определен мыслями других людей и, следовательно, держит меня внутри себя, не давая возможности понять или даже увидеть ничего нового. Попросту говоря, ответив Дядьке: «Понятно», — я даже не делал попытки понять его, а подбирал из памяти хоть что-то сходное из старых запасов, тем самым загораживая себе же дорогу к познанию. Меня даже пот пробил, когда я это увидел.

— Мы с тобой попозже поговорим, как творятся нашим мышлением очевидности, — сказал он, заметив, что у меня произошло осознавание. — Поди умойся.

Когда я вернулся, он сначала напоил меня чаем и, только убедившись, что я в состоянии слушать, продолжил свой экскурс в мифологию творения. Итак, в пустоте или некоей настолько однородной изначальной среде, что она может быть сопоставима с пустотой, появляется точка возмущения, которая тут же превращается или разворачивается в многомерную волну. Пробежавшись вкратце по всему уже сказанному, Дядька завершил это словами:

— Вот это и есть Бог-отец. Точка и волна одновременно! Смотри сам, все выходит из него, значит, все было в нем. Но он и есть все. То есть весь наш мир, конечно, который творится. Как он творится?

— Расширением волны, — ответил я.

— Ну да. Разбеганием в пустоте этой волны. Но не только. Посмотри, а что с точкой-то?

— А что с точкой? — переспросил я.

— Ну, она-то куда девается?

— А никуда! Из нее следующие волны идут.

— Правильно! Только не следующие, а все та же! Все та же, но повторяющая себя!

— Пожалуй... — не совсем уверенно согласился я, потому что, хотя с точки зрения какой-то сути я с этим и был согласен, но с точки зрения языка все последующие за первой волны от камня называются все-таки волнами, а не волной. Значит, обладают некоей самостоятельностью существования.

— Да, — сказал Дядька, точно читая мои мысли, — точка, первая волна и последующие волны имеют отличия. Вот так и отличаются Боги-отцы. Их несколько. Начальная точка, из которой все выходит, она же самая крайняя волна, захватывающая пустоту все шире — это Бог-отец-творец. Она все время новая, непредсказуемая, просто потому, что до нее еще ничего нет и не по чему предсказывать. За ней же волны повторяются. Это уже какой-то порядок. Это, конечно, все тот же Бог-отец, но Бог-отец-устроитель. Небесный Строй. Он заполняет сотворенную вселенную. И пока все так, все неизменно, новые боги не нужны. Но вот если порядок нарушается, тогда появляется необходимость в том, кто его восстановит. Вот тут-то и рождается третий Бог-отец. Можно сказать, Бог-отец проявляется как Бог-отец-управитель. Творением нельзя управлять, им можно только быть. И устроением тоже нельзя управлять. Его можно только поддерживать. Любое управление его разрушит. Нельзя вмешиваться. Так что неважно, из-за чего появляется Бог-отец-управитель — из-за какого-то случайного сбоя в устроении или из-за желания вмешаться и управлять порядком, но это начало конца. Это разрушение, а Бог-отец-управитель одновременно и Бог-отец-разрушитель. С него все пойдет к началу. В конце концов, любой управитель доуправляется до хавоза. Считай, до пустоты.[Шевцов А. А.]

Вот коренное отличие народного мировоззрения от естественнонаучного: для учёного есть три оси, которые, в общем-то, ничем друг от друга не отличаются. А для человека есть шесть направлений и все они разные: четыре стороны света, верх и низ. Потому что в среде появляется середина, Я!

Пойду от середины.

Рисунок 34: Малая сажень, лад С
Рисунок 34: Малая сажень, лад С

Оси совмещены. Диаметр круг в середине равен двум малым саженям.

  • Малый квадрат 2C задаёт внутреннюю ширину притворов;
  • Главный квадрат 4C построен по ширине колонн подкупольного квадрата. Так же задал внешнюю ширину большого нефа (внутренние границы малых нефов) и южную стену западного притвора;
  • Квадрат 6C точно лёг по длине от западной стены до алтарных колонн;
  • Квадрат 8C задал границу лестницы и внешнюю (по отношению к ядру) границу южных алтарных колонн;
  • Квадраты 10C и 12C легли на некоторые пучковые тяги и др.
Рисунок 35: Простая сажень, лад C♯
Рисунок 35: Простая сажень, лад C♯
  • 4C♯ задал боковые грани алтарных колонн, а направляющими — северную стену западного притвора. Южная стена притвора тоньше, здесь направляющие легли на небольшие угловые выступы, которые словно для этого здесь и поставлены.
  • 6C♯ задал внутреннюю ширину храма;
  • 8C♯ задал внешнюю ширину восточной части. В западной части снова лёг на углы так называемых «пучковых тяг»;
  • 10C♯ возможно задал откос оконного проёма северного притвора;
  • 12C♯ - внутренние границы притворов.

Церковь Параскевы Пятницы так же называют «церковью о ста семидесяти углах». Однако «пучковые тяги» присущи не только ей. У меня создаётся устойчивое ощущение, что они заботливо сделаны для удобства прочтения чертежа. В этом смысле сам храм неожиданно приобретает новый смысл — как будто зодчие оставляли послание нам, грядущим поколениям, и очень беспокоились что бы оно дошло…

Рисунок 36: Кладочная сажень, лад D
Рисунок 36: Кладочная сажень, лад D
  • 2D ложится по внутренним границам центральных колонн; задаёт южную границу главного нефа при этом проходя по отметкам на алтарных колоннах;
  • 4D пучковые тяги;
  • 8D – внешняя ширина тела храма; выступы по бокам восточной и западной части отмечен углом «пучковой тяги»;
  • 10D – граница малых нефов;
  • 12D – восточная внешняя граница тела храма; вход в западный притвор.

Здесь мы впервые столкнулись с консонансом (созвучием) и некоторые совпадения я предпочёл отметить на эпюре G. Мне любопытно, какие ещё сажени созвучны между собой?

Для этого я нужно построить ряды по 12 саженей каждого вида и привести по возможности к общему знаменателю. Вот что у меня получилось:

Созвучия (консонансы, комбинаторика)
Созвучия (консонансы, комбинаторика)

Каждую сажень я взял от 1 до 12 раз и попросил Excel выделить повторяющиеся значения. Удивительно, не правда ли?

Глядя на столбцы с одинаковым знаменателем можно непосредственно сравнить сажени друг с другом:

  • 12 простых равны 9 царским;
  • 12 кладочных равны 9 казённым;
  • 12 малых равны 10 египетским, 9 церковным, 8 казённым;
  • и т. д.

Ле Корбюзье мечтал о подобной комбинаторике…

Рисунок 37: Египетская сажень, лад D#
Рисунок 37: Египетская сажень, лад D#

Сейчас я работаю только с очертаниями несущих стен — всё, что мне доступно — а ведь должна быть ещё внутренняя разметка храма, расстановка икон и церковной утвари. Вполне вероятно, что разметка использовалась более полно, но для проверки мне не хватает данных.

Рисунок 38: Народная сажень, лад E
Рисунок 38: Народная сажень, лад E

Жёлтым по белому не очень хорошо видно, но для особо пытливых умов  я выложу исходный файл в формате DWG. Там всё очень наглядно и можно проверить размеры.

Церковная сажень, лад F
Церковная сажень, лад F
  • лестница;
  • падуги малых нефов;

Следующая сажень — F♯ (Царская): основа треугольника C♯-F♯-A♯.

Рисунок 40: Царская сажень, лад F♯
Царская сажень, лад F♯

Мне нравится как 12F# отмечает край оконного проёма главного нефа: тут свет проливается в «горнее место».

Казённая сажень, лад G
Казённая сажень, лад G

Это доминанта основного мажорного трезвучия C-E-G, поэтому не удивительно, что она повторяет C.

Я совершенно уверен, что зодчие не размечали столь мелкую сетку. Во-первых, это не возможно сделать с высокой точностью без компьютера. Мелкая сетка нужна мне, что бы выявить совпадения.
Если же говорить о временах стародавних, когда не было даже бумаги - становится очевидным, что всё делалось проще, крупнее и размечалось прям по месту. У меня есть догадки на этот счёт и я опишу их в последующих работах.

Сажени. Проверка археологией Владимир Безуглов
Греческая сажень , лад G#
Рисунок 42: Великая сажень, лад A
Великая сажень, лад A
Рисунок 44: Косая сажень, лад A#
Косая сажень, лад A#
Сажени. Проверка археологией Владимир Безуглов
Большая сажень, лад B

Это двенадцатая сажень, она завершает ряд и определяет внешнюю границу главного нефа.

Что хочется отметить - храм подчиняется строгим геометрическим законам и при этом совершенно чужд симметрии. Особенно наглядно это на примере нефов. К примеру, главный неф строится из четырёх дуг, принадлежащих окружностям различного диаметра. Я напишу подробно в следующей статье, посвящённом прикладной работе с саженями.

Девять из двенадцати ступеней находятся друг с другом в ладу — строго определённых целочисленных соотношениях. А вот три полутона треугольника C♯-F♯-A♯ совершенно особенные. Между собой они так же соотносятся, как 3:4:5, но по отношению к C они определены лишь приблизительно - как и ряд Фибоначчи вечно стремится к золотому сечению и никогда его не достигнет... Для пифагорейцев это открытие было трагедией!

Открытие несоизмеримости (для диагонали квадрата со стороной 1 не было соответствующего числа!) опрокидывало всю философскую систему пифагорейцев, которые были убеждены, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Это открытие долго держалось в тайне, а ученик Пифагора Гиппас из Метапонта за то, что он открыл недостойным участия в учениях природу пропорции и несоизмеримости, был изгнан из школы Пифагора. Позднее, когда Гиппас погиб во время кораблекрушения, его противники видели в этом наказание богов за разглашение тайны. [Волошинов А. В.]

Неопределённость портит стройную геометрическую картину. При этом не позволяя достичь состояния покоя - упокоиться...

Таким образом, желая разделить пять тонов в (8.1) на полутона, мы получили, по крайней мере, 10 промежуточных звуков. Новый пифагоров строй примет вид (интервальные коэффициенты новых звуков для краткости опущены)

Сажени. Проверка археологией Владимир Безуглов

Какие из этих дополнительных звуков взять: с бемолями или диезами? Для музыкантов, играющих на инструментах с нефиксированной высотой звуков (скрипачей, например), эта проблема не стоит. Они берут и те и другие. В результате звучание скрипки становится более выразительным и контрастным, так как в ладе обостряются тяготения неустойчивых звуков к устойчивым. Этим во многом объясняется то «волшебное пение» скрипки, которое доступно только ей одной.

Установившийся порядок устойчив. В нём нет движения, а значит и жизни. А жизнь и игра — основываясь на порядке, им не является! Так же и зодчий не стал рисовать скучные квадраты, а сыграл удивительную красочную симфонию на всех 12 ладах - "как мера и красота скажут".

Это божественная игра, Лила индуистско-ведической традиции или Леля русской (Русский припев Лель-Полель означал Играй-Поиграй!). Именно она творит миры, она является творческой потенцией Демиурга и естественно перерастает в Майю, мировую иллюзию, сопоставимую в русской традиции с Мороком, то есть тем, чем является Мир людей. <...>

Время жизни составляется из часов игры.

Игра — это время, когда Боги приходят к нам. Сейчас, теперь, настоящее — это пора играющих Богов, и ты можешь участвовать в этой Игре на равных. Тысячелетия Русь призывала со всех хороводов: «Лель, Полель!» И спешили Боги и Люди, боялись опоздать ко времени...[Шевцов А. А.]

Замыкая круг

Полагаю, я достаточно полно показал, как строились сажени.

Соотношения чистого строя позволяют достичь той «комбинаторики», соразмерности, которые мы наблюдаем в исследуемых зданиях. Высокая точность соответствия вычислений и замеров подтверждают это предположение.

Второе подтверждение — вавилоны. Предшествующие исследователи обходительно называли их «символом зодческой мудрости», но почему-то предпочитали изобретать собственные способы получения саженей. Мне удалось получить сажени используя обнаруженные инструменты и показать связь обоих вавилонов.

Ну и наконец, и самое важное для меня, мифологическое обоснование — то, как сажени живут в народном мировоззрении, являясь по сути, геометрическим выражением мифа о сотворения мира:

«Так делали боги, так делают люди»

Однако моё любопытство заставляет меня задать следующий вопрос: почему боги делали именно так? Действительно ли это лучшее решение или возможен иной, «альтернативный» строй?

За ответом я снова обращусь к Александру Викторовичу Волошинову.

Почему 12 нот?

Почему все-таки октава разделена именно на 12 частей? Это вопрос из области математики, и ответ на него содержится в решении задачи, которую мы сформулируем так.

Требуется разделить интервал октавы 1≤f≤2 на n геометрически равных частей 1 = f0≤f1≤f2≤…≤fn = 2, так, чтобы k-я точка деления приходилась на главный консонанс октавы — квинту, т. е. fk = 3/2 (0<k<n). Так как согласно (6.12) fk = 2k/n, то мы приходим к уравнению

(9.3)
(11.3)

Но левая часть уравнения (9.3) есть число четное при любых n и k, тогда как правая — число нечетное. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает, что уравнение (9.3) в целых числах решений не имеет. Одновременно мы можем сделать важный вывод: шкала равномерно-темперированного строя никогда точно не пройдет через квинту.

Будем искать в целых числах приближенные решения уравнения (9.3). Логарифмируя, представим это уравнение в виде

(9.4)
(11.4)

и, как говорят математики, найдем рациональные приближения иррационального числа 0,58505… Такие задачи в математике решаются с помощью цепных дробей, т. е. дробей вида

(9.5)
(11.5)

Здесь a1, а2, а3, … — натуральные числа. Известно, что всякое число а∈[0; 1] можно разложить в цепную дробь (11.5), которая

Почему 12 нот?
Почему 12 нот?

Первые три дроби 1; 0,5; 0,6 дают слишком грубое приближение к числу x = 0,58505… Четвертая дробь k/n = 7/12 = 0,5833… является достаточно хорошим приближением. Она-то и положена в основу 12-звукового равномерно-темперированного строя (n = 12, k = 7, т. е. на седьмой ступени 12-звуковой гаммы находится темперированная квинта). Пятая дробь 24/41=0,58536 дает еще лучшее приближение. Таким образом, мы получаем еще одну равномерную темперацию, которая на 24-й ступени имеет практически идеальную квинту. Но ведь октава при этом делится на 41 ступень! Вряд ли кто отважится играть на столь сложном инструменте. Итак, именно 12-звуковая темперация является той «золотой серединой», которая обеспечивает достаточно чистое звучание консонансов при достаточной простоте музыкальной гаммы.[Волошинов А. В.]

Вот ведь какая штука: деление октавы на 12 частей — самое лучшее в соотношении простота/точность!

Следующее приближение уже делит октаву на 41 часть. Точность несущественно выше при значительно большей сложности. Некрасивое решение…

Кстати, вот ещё одно определение красоты: достижение цели наипростейшим способом. Правда, это особый вид красоты — красоты инженерного решения… Но мы ведь говорим о Великом Архитекторе Вселенной, не так ли? 😉

Строй — лишь один. Другого нет и быть не может! Это такой же непреложный вселенский закон, как отношение длины окружности к её диаметру, как неизбежность причины и следствия, Рита — закон, которому подчиняются даже Боги!

Слово Рита́ (ṛtá) — на ведийском санскрите буквально означает «порядок вещей». Рита представляет собой универсальный космический закон, в согласии с которым происходит «упорядочивание неупорядоченного», вращение Вселенной и существование всего сущего, включая космос, человечество и его нравственные устои. Рита определяется не извне, а из самой себя, она определяет всё, включая себя. В Авесте оно употребляется как Арта. В русском языке однокоренными с ним были слова Рота — клятва, присяга и Ряд — договор, соответственно, Порядок…

Строй...?

Статья серии Cажени<<<
Автор: Владимир Безуглов, источник: tart-aria.info
При использовании материалов статьи активная ссылка на tart-aria.info с указанием автора обязательна.
www.copyright.ru